Question

（2013•南京二模）如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊扇形綠地OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，∠AOB=60°，廣場(chǎng)管理部門(mén)欲在綠地上修建觀光小路：在

AB

上選一點(diǎn)C，過(guò)C修建與OB平行的小路CD，與OA平行的小路CE，問(wèn)C應(yīng)選在何處，才能使得修建的道路CD與CE的總長(zhǎng)最大，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由題意，得四邊形ODCE是平行四邊形，連接OC，設(shè)OC=r，OD=x，OE=y，可得△OCD中∠ODC=180°-∠AOB=120°．利用余弦定理得r²=x²+y²+xy，再由基本不等式算出x+y≤

2 3

3

r，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

3

3

r時(shí)等號(hào)成立．由此可得當(dāng)點(diǎn)C取在弧AB的中點(diǎn)時(shí)，可使修建的道路CD與CE的總長(zhǎng)最大．

解答：解：根據(jù)題意，四邊形ODCE是平行四邊形
因?yàn)椤螦OB=60°，所以∠ODC=180°-∠AOB=120°
連接OC，設(shè)OC=r，OD=x，OE=y
在△OCD中，根據(jù)余弦定理得OC²=OD+²DC²-2OD•DCcos120°
即r²=x²+y²+xy
∴（x+y）²=r²+xy≤r²+（

x+y

2

）²．
解之得（x+y）²≤

4

3

r²，可得x+y≤

2 3

3

r，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

3

3

r時(shí)，等號(hào)成立
∴x+y的最大值為

2 3

3

r，此時(shí)C為弧AB的中點(diǎn)
答：當(dāng)點(diǎn)C取在弧AB的中點(diǎn)時(shí)，可使修建的道路CD與CE的總長(zhǎng)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓心角為60度的扇形場(chǎng)地，求修建道路CD與CE的總長(zhǎng)最大最大值．著重考查了利用余弦定理解三角形、基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．