Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=k有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)f（x）的極大值和極小值求出k的范圍即可．

解答 解：（I）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

當(dāng)x=-1時(shí)，有極大值f（-1）=2；
當(dāng)x=1時(shí)，有極小值f（1）=-2．
（II）要f（x）=k有3個(gè)實(shí)根，
由（I）知：f（1）＜k＜f（-1），
即-2＜k＜2，
∴k的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．