Question

14．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，則雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．

Answer 1

分析 由橢圓的離心率公式，化簡(jiǎn)可得b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，求出雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，計(jì)算即可得到所求方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
化為b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
可得雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為：
y=±$\frac{a}$x，即為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
故答案為：y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．