Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，則函數(shù)g（x）=f（x）-log₂x的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 無數(shù)個

Answer 1

分析 將求g（x）=f（x）-log₂x的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化成求f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，與h（x）=log₂x交點個數(shù)，分別繪制f（x）和h（x）函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)解析式即可f（x）和h（x）得交點個數(shù)．

解答 解：將求g（x）=f（x）-log₂x的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化成求f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，與h（x）=log₂x交點個數(shù)，
畫出f（x）和h（x）在同一坐標系中函數(shù)圖象，

①當n=0時，f（x）=-1，x∈[0，1），則log₂x=-1⇒x=$\frac{1}{2}$∈[0，1）成立，
②當n=1時，f（x）=0，x∈[1，2），則log₂x=0⇒x=1∈[1，2），
③當n=2時，f（x）=1，x∈[2，3），則log₂x=1⇒x=2∈[2，3），
④當n=3時，f（x）=2，x∈[3，4），則log₂x=2⇒x=4∉[3，4），
⑤當n=4時，f（x）=3，x∈[4，5），則log₂x=3⇒x=8∉[4，5），
∴從第二項起x的取值以1為首項2為公比的等比數(shù)列，而區(qū)間函數(shù)f（x）成正比增長，
故f（x）和h（x）沒有交點，
∴f（x）和h（x）由三個交點，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-log₂x有3個零點，
故答案選：C．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷問題，考查數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．