Question

2．若函數(shù)f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)，則f（x）在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是（　�。�

• A． （-∞，-1]
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 本題先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)，得到b的取值范圍，再利用b的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合b的取值范圍，選擇符合題意的選項(xiàng)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R），
∴f′（x）=1-$\frac{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)
∴當(dāng)1-$\frac{{x}^{2}}$=0時(shí)，b=x²，x∈（1，2）
∴b∈（1，4）
令f'（x）＞0 得到x$＜-\sqrt$或x$＞\sqrt$，
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt$），（$\sqrt$，+∞），
∵b∈（1，4），
∴（2，+∞）適合題意．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題在研究了b的取值范圍后，得到了函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，在選擇選項(xiàng)時(shí)，要注意選擇恒成立的選項(xiàng)．