Question

11．已知函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）一個零點為-2，當x∈[0，4]時最大值為0．
（1）求a，b的值；
（2）若對x＞3，不等式f（x）＞（m+2）x-m-15恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數的性質，函數的零點，列出方程求解即可．
（2）利用恒成立，通過對稱軸與函數值以及判別式列出不等式或不等式組，求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的一個零點為-2，
又當x∈[0，4]時最大值為0．即另一個零點在[0，4]，則f（x）＜0（x∈（0，4）），f（4）=0，
即函數的兩個零點分別為-2，4．
$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b=0}\\{16+4a+b=0}\end{array}\right.$
a=-2，b=-8         …（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x-8，x²-2x-8＞（m+2）x-m-15，
即x²-（m+4）x+7+m＞0對x＞3恒成立，則①$\left\{\begin{array}{l}\frac{m+4}{2}≤3\\ 9-3（m+4）+m+7≥0\end{array}\right.$
或②△=（m+4）²-4（m+7）≤0
解得①m≤2或 ②-6≤m≤2，綜合得m的取值范圍為（-∞，2]…（12分）
（注：亦可分離變量$m＜\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}對x＞3恒成立$）

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，函數恒成立的應用，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．