Question

已知圓x²+y²=1，點(diǎn)A(1，0)，△ABC內(nèi)接于該圓，且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求BC的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

解析:本題是比較典型的使用曲線的參數(shù)方程來(lái)解決相關(guān)問題的題目，涉及到多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣比較巧妙地把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給表示出來(lái)，從而找到所要求的問題的解.顯然借助于圓的參數(shù)方程就容易將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)給表示出來(lái)，進(jìn)而把其中的點(diǎn)的坐標(biāo)給表示出來(lái)；然后通過消去參數(shù)從而達(dá)到目的，之后還要注意其中的參數(shù)的取值范圍.

解:如圖(1)所示，M為BC的中點(diǎn)，?

由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°,(弦所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的2倍)?

在△BOC中，OB=OC=1OM=.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=.?

   

(1)　　            (2)

又因?yàn)?I >x≥時(shí)，如圖(2),

雖然∠BOC=120°，

但∠BAC=(360°-120°)=120°≠60°,

所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=(x＜),如圖(2).

點(diǎn)評(píng):本題主要容易忽視隱含的范圍x＜，忽視了這個(gè)范圍則本題的解答就不嚴(yán)謹(jǐn)，并且很多資料上的答案也都沒有這個(gè)范圍，像這樣的求軌跡的問題一定要注意這一點(diǎn).