Question

已知直線l：（2+m）x+（1+2m）y+4-3m=0．
（1）求證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M；
（2）過定點M作一條直線l₁，使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點平分，求直線l₁的方程．

Answer 1

考點：恒過定點的直線

專題：直線與圓

分析：（1）將直線的方程：（2+m）x+（1+2m）y+4-3m=0是過某兩直線交點的直線系，故其一定通過某個定點，將其整理成直線系的標(biāo)準(zhǔn)形式，求兩定直線的交點此點即為直線恒過的定點．
（2）當(dāng)斜率不存在時，不合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求的直線方程為y-

10

3

=k（x+

11

3

），列出方程，進(jìn)而得出交點．

解答： 解：（1）證明：∵m（x+2y-3）+2x+y+4=0，
∴由題意得

x+2y-3=0 2x+y+4=0

∴直線l恒過定點M（-

11

3

，

10

3

）．
（2）解：設(shè)所求直線l₁的方程為y-

10

3

=k（x+

11

3

），直線l₁與x軸、y軸交于A、B兩點，則A（-

10

3k

-

11

2

，0）B（0，

10

3

+

11k

3

）．
∵AB的中點為M，∴

- 10 3k - 11 3 =- 22 3 10 3 + 11k 3 = 20 3

解得k=

10

11

．
∴所求直線l₁的方程為y-

10

3

=

10

11

（x+

11

3

），
即：10x-11y+77=0．
所求直線l₁的方程為10x-11y+77=0．

點評：本題給出動直線恒過定點，要我們求直線恒過的定點坐標(biāo)，中點的坐標(biāo)，著重考查了直線的方程及點與直線位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．