Question

設(shè)f（x）=sinx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相應(yīng)x的值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，滿足f（A）=1．求sin（2B+C）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為 f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，故當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，f（x）取得最大值為

2

2

+

1

2

，從而得出結(jié)論．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，由f（A）=1，結(jié)合-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，求得A=

π

4

，可得 B+C=

3π

4

，可得

3π

4

＜2B+C＜

5π

4

，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域、值域，求得sin（2B+C）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx（sinx+cosx）=sin²x+

1

2

sin2x=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
故當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，f（x）取得最大值為

2

2

+

1

2

，此時(shí)，x=kπ+

3π

8

，k∈z．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，∵滿足f（A）=

2

2

sin（2A-

π

4

）+

1

2

=1，求得sin（2A-

π

4

）=

2

2

．
再結(jié)合-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

，可得 2A-

π

4

=

π

4

，求得A=

π

4

，∴B+C=

3π

4

，∴

3π

4

＜2B+C＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin（2B+C）＜

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．