Question

8．正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，且a₂，a₄+2，2a₇-8成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由已知得：a₂•（2a₇-8）=$（{a}_{4}+2）^{2}$，代入化簡(jiǎn)解出，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）b_n=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由已知得：a₂•（2a₇-8）=$（{a}_{4}+2）^{2}$，即（4+d）[2（4+6d）-8]=（6+3d）²，
化簡(jiǎn)得：d²+4d-12=0，解得：d=2或d=-6（舍），
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（Ⅱ）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．