Question

7．已知函數f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx，g（x）=xe^-x．
（1）當x∈R時，求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若對任意x₁∈[1，3]，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用將次公式和兩角和的正弦公式將f（x）化簡得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，令2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$解出單調遞減期間；
（2）令g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos2x+1+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
當$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
即$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z時，函數f（x）單調遞減，
所以函數f（x）的單調遞減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]k∈Z$．
（Ⅱ）對任意${x_1}∈[1，3]，{x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$，要使不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，
只需g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值．
當$x∈[{0\;，\frac{π}{2}}]$時，有 $2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}\;，\frac{7π}{6}}]$，
∴當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時，$sin（2x+\frac{π}{6}）$有最大值1，f（x）有最大值3．
所以當${x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x₂）的最大值為3．
又由g（x）=x e^-x得   g′（x）=e^-x-x e^-x=（1-x） e^-x，當1≤x≤3時，g'（x）≤0．
∴g（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數，當x₁∈[1，3]時，g（x₁）有最小值$g（3）=\frac{3}{{{{e}^3}}}$．
所以g（x₁）+a+3的最小值為$\frac{3}{{{{e}^3}}}+a+3$．
令$\frac{3}{{{{e}^3}}}+a+3$＞3得  $a＞-\frac{3}{{{{e}^3}}}$，所以實數a的取值范圍是$（-\frac{3}{{{{e}^3}}}，+∞）$．

點評 本題考查了三角函數的單調區(qū)間和函數恒成立問題，將問題轉化為函數的最值問題是關鍵．