Question

12．已知某物體的溫度θ（單位：攝氏度）隨時間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律：θ=m•2^t+2•$\frac{1}{{2}^{t}}$ （t≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；
（2）若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將m=2，θ=5代入θ=m•2^t+2^1-t（t≥0）解指數(shù)方程即可求出t的值；
（2）問題等價于m•2^t+2^1-t≥2（t≥0）恒成立，求出m•2^t+2^1-t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立關(guān)系，解之即可求出m的范圍．

解答 解：（1）若m=2，則θ=2•2^t+2^1-t=2（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$），
當(dāng)θ=5時，2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$=$\frac{5}{2}$，令2^t=x≥1，則x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$，即2x²-5x+2=0，解得x=2或x=$\frac{1}{2}$（舍去），此時t=1．
所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．
（2）物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立．亦m•2^t+$\frac{2}{2t}$≥2恒成立，
亦即m≥2（$\frac{1}{{2}^{t}}$-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）恒成立．
令$\frac{1}{2t}$=x，則0＜x≤1，∴m≥2（x-x²），
由于x-x²≤$\frac{1}{4}$，∴m≥$\frac{1}{2}$．
因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查了不等式的實際應(yīng)用，以及恒成立問題，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．