Question

【題目】如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形， ， ， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）結合已知條件本題可采用向量法求解，證明線面平行只需證明直線的方向向量垂直于平面的法向量；（Ⅱ）中由線面所成角需找到直線的方向向量與平面的法向量，利用公式求線面角

試題解析：（Ⅰ）（法一）取中點為，連接、，

且，

，則且．

四邊形為矩形， 且，

且，

，則．

平面， 平面，

平面．

法二四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，

， ，

又平面平面，且平面平面，

平面．

以為原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，

所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系．

根據題意我們可得以下點的坐標：

， ， ， ， ， ，

則， ．

為平面的一個法向量．

又，

∴

∵平面

平面．

（Ⅱ）設平面的一個法向量為， ， ，則， 取，得．

，設直線與平面所成角為，則

．

所以

所以與平面所成角的余弦值為