Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-a1nx．
（1）當(dāng)a=1時．求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程：
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$，?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（2）由題意可得f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即為1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≥0，即有a≤x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值，求出最小值，即可得到所求范圍；
（3）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出f（x），h（x）的單調(diào)性，由題意可得可得f（x）_max≥h（x）_min，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=x-$\frac{1}{x}$-1nx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=1+1-1=1，
切點(diǎn)為（1，0），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1；
（2）由題意可得f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即為1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≥0，即有a≤x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值，
由x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取得等號．
即有a≤2；
（3）由（2）可得a≤2時，f（x）在[1，e]遞增；
函數(shù)h（x）=x-lnx-$\frac{1}{e}$的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
即有h′（x）≥0在[1，e]成立，即有h（x）在[1，e]遞增，
由題意?x₁，x₂∈[1，e]使得f（x₁）≥h（x₂）成立，
可得f（x）_max≥h（x）_min，
即為f（e）≥h（1），即有e-$\frac{1}{e}$-a≥1-$\frac{1}{e}$，
解得a≤e-1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，以及存在性問題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．