Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恒有f′（x）＞x，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知c₁＞0，且c_n+1=f′（c_n）（n=1，2，…），在（2）的條件下，證明數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數(shù)，找到導數(shù)為0的根，在檢驗導數(shù)為0的根兩側導數(shù)的符號即可得出結論．
（2）因f′（x）=2x-a+

1

x+1

，由f′x）＞x，分參數(shù)得到：a＜x+

1

x+1

，再利用函數(shù)y=x+

1

x+1

的最小值即可得出求實數(shù)a的取值范圍．
（3）本題考查的知識點是數(shù)學歸納法，要證明當n=1時，c₂＞c₁成立，再假設n=k時c_k+1＞c_k，c_k＞0成立，進而證明出n=k+1時c_k+2＞c_k+1，也成立，即可得到對于任意正整數(shù)n數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

解答：解：（1）a=2時，fx）=x²-2x+ln（x+1），則f′（x）=2x-2+

1

x+1

=

2x 2-2

x+1

，
f′x）=0，x=±

2

2

，且x＞-1，
當x∈（-1，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）時f′x）＞0，當x∈（-

2

2

，

2

2

）時，f′x）＜0，
所以，函f（x）的極大值點x=-

2

2

，極小值點x=

2

2

．
（2）因f′（x）=2x-a+

1

x+1

，f′x）＞x，
2x-a+

1

x+1

＞x，
即a＜x+

1

x+1

，
y=x+

1

x+1

=x+1+

1

x+1

-1≥1（當且僅x=0時等號成立），
∴y_min=1．∴a≤1
（3）①當n=1時，c₂=f′（x）=2c₁-a+

1

c 1+1

，
又∵函y=2x+

1

x

當x＞1時單調(diào)遞增，c₂-c₁=c₁-a+

1

c 1+1

=c₁+1+

1

c 1+1

-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
∴c₂＞c₁，即n=1時結論成立．
②假設n=k時，c_k+1＞c_k，c_k＞0則n=k+1時，
c_k+1=f′（c_k）=2c_k-a+

1

c 1+1

，
c_k+2-c_k+1=c_k+1-a+

1

c k+1+1

=c_k+1+1+

1

c k+1+1

-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
c_k+2＞c_k+1，即n=k+1時結論成立．由①，②知數(shù){c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．