已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=-3x2+6x+9.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.
【答案】分析:(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,令導(dǎo)數(shù)f′(x)>0(或<0),解不等式即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,求導(dǎo),利用對應(yīng)系數(shù)相等,求得a=-1,b=3,c=9,根據(jù)(1)可知函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性,從而根據(jù)其最大值求出d的值,求出其最小值,
解答:解:(1)由f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3)<0,得x<-1或x>3,
由f′(x)=-3(x+1)(x-3)>0,得-1<x<3,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1)和(3,+∞),單調(diào)增區(qū)間為(-1,3);
(2)設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則f′(x)=3ax2+2bx+c,
∴3a=-3,2b=6,c=9,
即a=-1,b=3,c=9.
故f(x)=-x3+3x2+9x+d,
由(1)知f(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,2)上單調(diào)遞增,
又f(2)=22+d>f(-2)=2-d,
∴f(x)max=22+d=20,
∴d=-2,
∴f(x)=-x3+3x2+9x-2,
∴f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為f(-1)=-7.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題,根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵,增加了題目的難度,考查運算能力和逆向思維能力,屬中檔題.
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