Question

（1）（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，CD⊥AB，垂足為D，且AD=5DB，設(shè)∠COD=θ，則tanθ的值為________．
（2）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，則經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為________．
（3）（不等式選講）若不等式|3x-b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有0，1，2，則b的取值范圍是________．

Answer 1

解：（1）令圓O的半徑為R，即OA=OB=OC=R
∵AD=5DB∴OD=R，AD=R，BD=R
由相交弦定理可得：CD²=AD•BD=R2，∴CD=R
∴tanθ==
（2））∵圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，
故它們的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，x²+y²=-4y，
故圓心坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，-2），
故經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程，即x-y-2=0；
（3）由不等式|3x-b|＜4可得＜x＜，
由解集中的整數(shù)有且僅有0，1，2，可得-1≤＜0，且 2＜≤3．
解得-1≤b＜4，且 2＜b≤5，故有2＜b＜4，
故b的取值范圍是（2，4），
故答案為：；x-y-2=0；（2，4）．
分析：（1）求tanθ的值，可轉(zhuǎn)化為解△OCD，根據(jù)相交弦定理，不難求出CD與半徑的關(guān)系，根據(jù)已知也很容易求出OD與半徑的關(guān)系；
（2）把 圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，用截距式求出經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程，并化為一般式．
（3）由不等式|3x-b|＜4可得可得＜x＜，由題意可得-1≤＜0，且 2＜≤3，由此求得b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何證明選講，考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．