Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=3，b₄=11，且{a_n+b_n}為等差數(shù)列．
（I） 求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II） 求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用分組求和的方法求解數(shù)列的和，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解數(shù)列的和．

解答 解：（I）因?yàn)樵跀?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n
所以，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，n∈N*，
即數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
所以a_n=2^n-1
設(shè)等差數(shù)列{a_n+b_n}的公差為d，
由題意得：3d=（a₄+b₄）-（a₁+b₁ ）=（2³+11）-（1+3）=15
解得d=5，
∴a_n+b_n=4+5（n-1）=5n-1，
∴b_n=5n-1-2^n-1，
（II） 由（I）知b_n=5n-1-2^n-1，
數(shù)列{5n-1}的前n項(xiàng)和為4n+$\frac{5n（n-1）}{2}$=$\frac{5}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n．
數(shù)列{2^n-1}的前n項(xiàng)和為$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
所以，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和$\frac{5}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用分組求和的方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．