Question

設(shè)P是不等式組

x≥0，  y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量

m

=（1，1），

n

=（2，1），若

OP

=λ

m

+μ

n

（λ，μ為實(shí)數(shù)），則λ-μ的最大值為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、-1
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，得到

x=λ+2μ y=λ+μ

，由此代入題中的不等式組，可得關(guān)于λ、μ的不等式組．作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵向量

m

=（1，1），

n

=（2，1），若

OP

=λ

m

+μ

n

（λ，μ∈R），
∴P（x，y）滿足

x=λ+2μ y=λ+μ

，代入不等式組組

x≥0，  y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

，
得

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

，
設(shè)λ=x，μ=y，則不等式等價(jià)為

x+2y≥0 x+y≥0 y≥-1 2x+3y≤3

，
作出不等式組表示的平面區(qū)域（陰影部分），
設(shè)z=λ-μ=x-y，
即y=x-z，平移直線y=x-z，
則當(dāng)直線y=x-z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大，
由

y=-1 2x+3y=3

，解得

x=3 y=-1

，即B（3，-1），
此時(shí)z=x-y=3-（-1）=3+1=4，
即λ-μ的最大值為4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，將條件轉(zhuǎn)換為關(guān)于λ、μ的不等式組是解決本題的關(guān)鍵．