Question

某學(xué)生買(mǎi)了一本數(shù)學(xué)練習(xí)《小題狂做》，每次練習(xí)中有8道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是“每題僅選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)得零分”．假設(shè)該生確定能做對(duì)前5題，第6-7題每題答對(duì)可能性均為p，第8題完全不能理解題意，只能隨意猜測(cè)，若該生做完了8道題得分不少于35分的概率是

5

9

．
（1）求p的值；
（2）該生要想每次選擇題的平均得分不少于35，是否還應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率？

Answer 1

分析：（1）利用該生做完了8道題得分不少于35分的概率是

5

9

，建立等式，即可求p的值；
（2）確定該生得分的取值，求出相應(yīng)的概率，可得數(shù)學(xué)期望，與35比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，該生確定能做對(duì)前5題得25分，其余3道題有2道題每題答對(duì)的概率是p，第8題答對(duì)的概率是

1

4

，
設(shè)該生做完了8道題得分不少于35分為事件M，則P（M）=

C

2 2

p2•

3

4

+

C

1 2

p(1-p)•

1

4

+p2•

1

4

=

5

9

，∴p=

2

3

；
（2）設(shè)該生得分為ξ，則ξ可取25，30，35，40
P（ξ=25）=(

1

3

)2•

3

4

=

1

12

；P（ξ=30）=

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•

3

4

+(

1

3

)2•

1

4

=

13

36

；
P（ξ=35）=

C

2 2

(

2

3

)2•

3

4

+

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•

1

4

=

4

9

；P（ξ=40）=(

2

3

)2•

1

4

=

1

9

∴Eξ=25×

1

12

+30×

13

36

+35×

4

9

+40×

1

9

=

1185

36

＜35
∴該生應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．