【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[﹣1,0]時(shí),函數(shù)的解析式為f(x)= (a∈R).
(1)求出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[﹣1,0]上的最大值.
(3)對(duì)任意的x1 , x2∈[﹣1,1]都有|f(x1)﹣f(x2)|≤M成立,求最小的整數(shù)M的值.

【答案】
(1)解:因?yàn)閒(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),

所以f(0)=1﹣a=0,所以a=1;

當(dāng)x∈[0,1]時(shí),則﹣x∈[﹣1,0],所以f(x)=﹣f(﹣x)=

化簡(jiǎn)得f(x)=2x﹣4x.x∈[0,1]


(2)解:由(1)知,x∈[0,1]時(shí), ,其中2x∈[1,2],

所以當(dāng)2x=1時(shí),fmax(x)=0;2x=2時(shí),fmin(x)=﹣2,

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知f(x)在[﹣1,0]上的最大值為2


(3)解:因?yàn)閒(x)為[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(0)=0,結(jié)合(2)可知,該函數(shù)在定義域[﹣1,1]上的最大值為2,最小值為﹣2,

|f(x1)﹣f(x2)|≤fmax(x)﹣fmin(x)=4,所以M=4


【解析】(1)先設(shè)x∈[0,1],則﹣x∈[﹣1,0],然后結(jié)合已知的解析式、奇函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;(2)根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn),可采用配方法結(jié)合自變量的取值范圍解決問(wèn)題;(3)因?yàn)槭遣坏仁胶愠闪?wèn)題,所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲;在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題.

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