Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，當x∈[﹣1，0]時，函數(shù)的解析式為f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣1，0]上的最大值．
（3）對任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤M成立，求最小的整數(shù)M的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，

所以f（0）=1﹣a=0，所以a=1；

當x∈[0，1]時，則﹣x∈[﹣1，0]，所以f（x）=﹣f（﹣x）= ，

化簡得f（x）=2x﹣4x．x∈[0，1]

（2）解：由（1）知，x∈[0，1]時， ，其中2x∈[1，2]，

所以當2x=1時，fmax（x）=0；2x=2時，fmin（x）=﹣2，

根據(jù)對稱性可知f（x）在[﹣1，0]上的最大值為2

（3）解：因為f（x）為[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（0）=0，結(jié)合（2）可知，該函數(shù)在定義域[﹣1，1]上的最大值為2，最小值為﹣2，

|f（x1）﹣f（x2）|≤fmax（x）﹣fmin（x）=4，所以M=4

【解析】（1）先設(shè)x∈[0，1]，則﹣x∈[﹣1，0]，然后結(jié)合已知的解析式、奇函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（2）根據(jù)函數(shù)的特點，可采用配方法結(jié)合自變量的取值范圍解決問題；（3）因為是不等式恒成立問題，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．