Question

11．已知首項都是1的數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿足$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}-2_{n}}$．
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）若{b_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且6b_n+2+b_n+1=b_n，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}-2_{n}}$，兩邊取倒數(shù)可得$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$-2，可得c_n+1-c_n=-2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q＞0，由于6b_n+2+b_n+1=b_n，可得6q²+q-1=0，解得q．可得b_n．可得a_n=（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}-2_{n}}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$-2，
∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=-2，
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，公差為-2，首項為1．
∴c_n=1-2（n-1）=-2n+3．
（2）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q＞0，
∵6b_n+2+b_n+1=b_n，
∴6q²+q-1=0，
解得q=$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=-2n+3，
∴a_n=（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$1-\frac{1}{3}$-3×$（\frac{1}{3}）^{2}$-…-（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
$\frac{1}{3}$S_n=$\frac{1}{3}-（\frac{1}{3}）^{2}$-3×$（\frac{1}{3}）^{3}$-…-（-2n+5）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=1-$2×[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n-1}]$+（2n-3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$=1-2×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{3}}$+（2n-3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．