【題目】已知，是動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與圓：內(nèi)切.

（1）求的軌跡的方程；

（2）設(shè)是圓與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)出，根據(jù)相切得出關(guān)于的方程，由方程對(duì)應(yīng)的幾何意義得出的軌跡的方程；

（2）設(shè)出，，解出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的直線并與橢圓聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)、證明.

解：（1）設(shè)，

則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以，

即，

整理得，

設(shè)，則，

即的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.

由，，

得，

所以的方程為.

（2）設(shè)，.

因?yàn)?/span>是圓與軸的交點(diǎn)，不妨設(shè)，，

則.

因?yàn)橹本�的方程為，

所以，則.

依題意，

因?yàn)橹本�過，斜率不為0，

故可設(shè)其方程為，

由

消去并整理得，

則，，

因?yàn)?/span>

，

所以，

故三點(diǎn)共線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形所在平面，M是的中點(diǎn)，二面角的大小為.

（1）設(shè)l是平面與平面的交線，證明；

（2）在棱是否存在一點(diǎn)N，使為的二面角.若不存在，說明理由：若存在，求長(zhǎng).

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【題目】己知p：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，f（m2）＜f（m+2）成立；q：方程1（m∈R）表示雙曲線．

（1）若p為真命題，求m的取值范圍；

（2）若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

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【題目】已知在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．

（Ⅰ）求證：D1E⊥A1D；

（Ⅱ）在棱AB上是否存在點(diǎn)E使得AD1與平面D1EC成的角為？若存在，求出AE的長(zhǎng)，若不存在，說明理由．

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【題目】已知圓，點(diǎn)在圓內(nèi)，在過點(diǎn)P所作的圓的所有弦中，弦長(zhǎng)最小值為.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若點(diǎn)M為圓外的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M向圓C所作的兩條切線始終互相垂直，求點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于無窮數(shù)列，若正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱為“不減數(shù)列”.

(1)設(shè)，均為正整數(shù)，且，甲:為“不減數(shù)列”，乙:為“不減數(shù)列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假，并說明理由;

(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，數(shù)列滿足，，如果為“不減數(shù)列”，試求的最小值;

(3)對(duì)于（2）中的，設(shè)，且.是否存在實(shí)數(shù)使得為“不減數(shù)列”?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形、半徑為的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，斜邊在直線上.已知為的中點(diǎn)，現(xiàn)將該圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】血藥濃度（Serum Drug Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度（單位：mg/ml），通常用血藥濃度來研究藥物的作用強(qiáng)度．下圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示服用第種藥后血藥濃度達(dá)到峰值時(shí)所用的時(shí)間，其它點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示服用三種新藥后血藥濃度第二次達(dá)到峰值一半時(shí)所用的時(shí)間(單位：h)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示第種藥的血藥濃度的峰值．（）

①記為服用第種藥后達(dá)到血藥濃度峰值時(shí)，血藥濃度提高的平均速度，則中最大的是_______；

②記為服用第種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時(shí)間，則中最大的是_______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“愛國(guó)，是人世間最深層、最持久的情感，是一個(gè)人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，愛國(guó)主義始終是激昂的主旋律。愛國(guó)汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當(dāng)時(shí)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，.）

（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大��；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效大幅提高，服從正態(tài)分布，公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過但不超過，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬元；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)5萬元.求每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望.

（附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）

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