Question

6．如圖，幾何體ABCD-B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，平面B₁C₁D₁∥平面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于平面ABCD，且BB₁=$\sqrt{2}$a，E為CC₁的中點，F為AB的中點．
（I）求證：△DB₁E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求平面B₁DE與平面FDE所成的銳二面角．

Answer 1

分析 （I）通過連結BD，交AC于點O，進而利用已知條件可建立坐標系，進而利用向量知識計算即得結論；
（Ⅱ）利用（I）中有關結論計算可求出平面B₁DE的法向量$\overrightarrow{m}$=（-2，0，$\sqrt{2}$）、平面B₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$），進而計算可得結論．

解答 （I）證明：連結BD，交AC于點O，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴BD⊥AC，
又由于BB₁、CC₁、DD₁都垂直于平面ABCD，
從而可以建系如圖，則O（0，0，0），B（$\frac{1}{2}$a，0，0），D（-$\frac{1}{2}$a，0，0），
B₁（$\frac{1}{2}$a，0，$\sqrt{2}$a），A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），
從而F（$\frac{1}{4}$a，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），
∵$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）•（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）=0，
∴∠DEB₁=90°，
又∵$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），
∴|$\overrightarrow{{B}_{1}E}$|=|$\overrightarrow{DE}$|，
于是△DB₁E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）解：由（I）可知$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{3}{4}$a，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0），
設平面B₁DE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\\{x+\sqrt{3}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=$\sqrt{2}$，可知$\overrightarrow{m}$=（-2，0，$\sqrt{2}$），
設平面FDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+\sqrt{2}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，可知$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$），
于是cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
從而所求銳二面角為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查二面角的平面角及其求法，考查數形結合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．