Question

甲乙兩人進行乒乓球比賽，各局相互獨立，約定每局勝者得1分，負者得0分，如果兩人比賽五局，乙得1分與得2分的概率恰好相等.

求乙在每局中獲勝的概率為多少？

假設(shè)比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，用表示比賽停止時已打局?jǐn)?shù)，求的期望.

 

Answer 1

【解析】（1）；（2）.

試題分析：（1）設(shè)每次比賽乙獲勝的概率為，則兩人比賽五局，乙得一分的概率為，乙得一分的概率為，因為，所以，即可求得；

（2）由題意比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，所以隨機變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機變量的定義及獨立事件同時發(fā)生的概率公式求出每一個隨機變量取值時對應(yīng)的隨機事件的概率，在有離散型隨機的期望公式求出期望.

（1）設(shè)每次比賽乙獲勝的概率為，則比賽5次乙恰好有次獲勝的概率為,

由題設(shè)，且， 化簡得，

所以，乙獲勝的概率為

甲獲勝的概率為

依題意知，的所有可能值為2，4，6.

設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為 ．

若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有，

，，

故.

考點：概率的應(yīng)用；離散型隨機變量的期望.