Question

設函數(shù)y=f（x）定義在R上，對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1且當x＜0時，f（x）＞1；
（2）設集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）依題意，取m=0，n=2⇒f（0+2）=f（0）f（2），當x＞0時，0＜f（x）＜1⇒f（2）≠0，于是知f（0）=1；當x＜0時，-x＞0⇒

1

f(-x)

＞1；取 m=x，n=-x，⇒f（x）•f（-x）=1，從而可證當x＜0時，f（x）＞1；
（2）依題意，在集合A中，y=x²-6x+1；在集合B中，有y=a，由A∩B=∅知拋物線y=x²-6x+1與直線y=a無交點，從而可求得實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（1）及題設可知，在R上f（x）＞0，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1，作差f（x₁）-f（x₂），判斷符號，從而利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明其單調(diào)遞減的性質(zhì)．

解答：證明：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），m，n為任意實數(shù)，
取m=0，n=2，則有f（0+2）=f（0）f（2），
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴f（2）≠0，
∴f（0）=1；
當x＜0時，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴

1

f(-x)

＞1；
取 m=x，n=-x，
則f（x-x）=f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

；
（2）在集合A中，∵f（-x²+6x-1）•f（y）=1，
∴f（-x²+6x-1+y）=f（0），
∴-x²+6x-1+y=0，
即y=x²-6x+1，
在集合B中，有y=a，
∵A∩B=∅，則拋物線y=x²-6x+1與直線y=a無交點，
∵y=x²-6x+1=（x-3）²-8，
∴y_mim=-8，
∴a＜-8，即a的取值范圍是（-∞，-8）；
（3）證明：由（1）及題設可知，在R上f（x）＞0，
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）
=[f（x₁-x₂）-1]•f（x₂），
∵f（x₁-x₂）-1＞0，f（x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查賦值法，考查直線與圓錐曲線的位置關系，突出考查函數(shù)單調(diào)性的判定與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應用，屬于難題．