Question

【題目】已知函數(shù)f(x)（a＞0）．

（1）證明：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f(x)≥1．

（2）當(dāng)0<a≤1時(shí)，對于任意的x∈(0，+∞)，f(x)≥m，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）m的最大整數(shù)值為0．

【解析】

（1）求導(dǎo)可知f′(x)＞0，則f(x)在[1，+∞）上是增函數(shù)，進(jìn)而得證；

（2）依題意，當(dāng)0<x<1時(shí)，，令，則問題轉(zhuǎn)化為g(x)≥m在(0，1)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值即可．

（1）證明：，

∵a>0，x≥1，

∴f′(x)>0，f(x)在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴f(x)≥ f(1)＝1；

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，由（1）知f(x)≥1，故m≤1；

當(dāng)0<x<1時(shí)，因?yàn)?/span>0<a≤1，所以，

令，故問題轉(zhuǎn)化為g(x)≥m在(0,1)上恒成立，，

令h(x)＝x+1+lnx，易知h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，

∵h(e﹣2)<0，h(1)>0，

∴存在，使得h(x0)＝x0+1+lnx0＝0，

當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)< 0，當(dāng)x∈(x0，1)時(shí)，g′(x)>0，

∴g(x)在x＝x0處取得最小值，，

由于x0+1+lnx0＝0，于是，

∵，

∴0<g(x0)<1，

綜上所述，m的最大整數(shù)值為0．