Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x），設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的定義域，并判斷F（x）的奇偶性，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）判斷H（x）=$\frac{1+x}{1-x}$在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）換底公式得到g（x）=-log₂（1-x），從而得到F（x）=log₂（x+1）-log₂（1-x），解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$便可得出F（x）的定義域，并容易求出F（-x）=-F（x），這便得到F（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）分離常數(shù)得到H（x）=$-1+\frac{2}{1-x}$，可看出該函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，證明H（x₁）＞H（x₂）便可得出H（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 解：（Ⅰ）$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x）=-lo{g}_{2}（1-x）$；
∴F（x）=log₂（x+1）-log₂（1-x）；
解$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
F（-x）=log₂（1-x）-log₂（x+1）=-F（x）；
∴F（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）$H（x）=\frac{-（1-x）+2}{1-x}$=$-1+\frac{2}{1-x}$；
H（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞1，則：$H（{x}_{1}）-H（{x}_{2}）=\frac{2}{1-{x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0，1-x₁＜0，1-x₂＜0；
∴$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}＞0$；
∴H（x₁）＞H（x₂）；
∴H（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義及判斷奇函數(shù)的方法和過(guò)程，對(duì)數(shù)的換底公式，分離常數(shù)法的運(yùn)用，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷和證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過(guò)程．