Question

16．已知拋物線y²=4x，F為拋物線焦點，A、B為拋物線上的兩點，且∠AFB=60°，M為AB中點，過M作拋物線準線的垂線交準線于點N．求$\frac{|MN|}{|AB|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，進而根據基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答 解：設|AF|=a，|BF|=b，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴0＜$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1．

點評 本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求$\frac{|MN|}{|AB|}$的取值范圍，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質、基本不等式求最值和余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．