Question

【題目】設(shè)函數(shù)在上有定義，實(shí)數(shù)和滿足.若在區(qū)間上不存在最小值，則稱在區(qū)間上具有性質(zhì)P.

（1）當(dāng)，且在區(qū)間上具有性質(zhì)P，求常數(shù)C的取值范圍；

（2）已知，且當(dāng)時(shí)，，判別在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P；

（3）若對于滿足的任意實(shí)數(shù)和，在區(qū)間上具有性質(zhì)P，且對于任意，當(dāng)時(shí)，有：，證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）具有性質(zhì)；（3）證明見解析．

【解析】

（1）由對稱軸可得；

（2）求出在上的函數(shù)解析式，判斷出函數(shù)在上后一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值都比前一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值大，從而函數(shù)最小值（如果有）只能在第一個(gè)區(qū)間上取得，但在上函數(shù)無最小值，因此可得出結(jié)論；

（3）由絕對值的性質(zhì)知，即夾在和之間，如果，則在上有最小值，不具有性質(zhì)，與已知矛盾，從而只能是，然后只要說明對任意的，一定有，，則必有，而，因此結(jié)論顯然成立．

（1），對稱軸，當(dāng)時(shí)，是最小值，當(dāng)時(shí)，是最小值，只有當(dāng)，即時(shí)，在是遞增，無最小值；

（2）時(shí)，，，同理時(shí)，，，

即，易知當(dāng)時(shí)，是最大值，而對任意的，，，都有恒成立，

∴時(shí)，若有最小值，則只有在時(shí)取得，但當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，無最小值，∴在上無最小值，具有性質(zhì)；

（3）對于任意，當(dāng)時(shí)，

有：,

∴，

若成立，則在上有最小值，不具有性質(zhì)，不合題意，所以只有．

顯然有，

則對任意的，則一定存在，使得則，，

∴，即．