Question

已知函數(shù)f（x）=

x-21-x，x≥1 x3-3x+2，x＜1

，則方程2f（x）=1的根的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)解析式利用導數(shù)判斷在（-∞，-1）（1，+∞）單調(diào)遞增，（-1，1）單調(diào)遞減，極大值f（-1）=4，極小值f（1）=0，畫出圖象可判斷答案．求出

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x-21-x，x≥1 x3-3x+2，x＜1

，
∴x∈[1，+∞）單調(diào)遞增，
f（1）=1-1=0，
當x＜1時，f（x）=x³-3x+2，
f′（x）=3x²-3，x＜1，
f′（x）=3x²-3=0，x=±1，
f′（x）=3x²-3＞0，x＞1（舍去），x＜-1，
f′（x）=3x²-3＜0，-1＜x＜1，
∴在（-∞，-1）（1，+∞）單調(diào)遞增，（-1，1）單調(diào)遞減，
極大值f（-1）=4，極小值f（1）=0，
∴f（x）=

1

2

，
f（x）與y=

1

2

交點3個，
∴方程2f（x）=1的根的個數(shù)為3，
故選：C

點評：本題考查了運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值，結合圖象判斷函數(shù)交點個數(shù)，方程的根的問題，屬于中檔題．