(Ⅰ)證明:AC∩BD=O,連接HO,F(xiàn)O
因為ABCD為正方形,所以O(shè)是AC中點,
又H是AD中點,
所以
,
,
所以EF∥OH且EF=OH,
所以四邊形EHOF為平行四邊形,
所以EH∥FO,
又因為FO?平面FAC,EH?平面FAC.
所以EH∥平面FAC.…(4分)
(Ⅱ)證明:因為AE=ED,H是AD的中點,所以EH⊥AD…(6分)
又因為AB∥EF,EF⊥EA,所以AB⊥EA
又因為AB⊥AD,所以AB⊥平面AED,
因為EH?平面AED,所以AB⊥EH,…(8分)
所以EH⊥平面ABCD.…(9分)
(Ⅲ)解:AC,BD,OF兩兩垂直,建立如圖所示的坐標系,設(shè)EF=1,則AB=2,
,
,F(xiàn)(0,0,1)…(10分)
設(shè)平面BCF的法向量為
,
,
所以
…(11分)
平面AFC的法向量為
…(12分)
. …(13分)
二面角A-FC-B為銳角,所以二面角A-FC-B等于
.…(14分)
分析:(Ⅰ)證明線面平行,只需證明EH平行于平面FAC中的一條直線,設(shè)AC∩BD=O,連接HO,F(xiàn)O,證明EH∥FO即可;
(Ⅱ)證明線面垂直,只需證明EH垂直于平面ABCD內(nèi)的一條直線,利用證明AB⊥平面AED,即可證得;
(Ⅲ)根據(jù)AC,BD,OF兩兩垂直,建立空間直角坐標系,求出平面BCF的法向量、平面AFC的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角A-FC-B的大。
點評:本題考查線面平行、線面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是熟練運用線面平行與垂直的判定,掌握求平面法向量的方法.