Question

11．已知$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-2}}{{{2^x}+1}}$（x∈R），若f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，
（1）求實(shí)數(shù)a的值及f（3）；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題意和奇函數(shù)的定義判斷出f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得：f（0）=0，列出方程求出a的值，代入f（x）求出f（3）；
（2）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，以及步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，且x∈R，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=$\frac{a•{2}^{0}+a-2}{{2}^{0}+1}$=0，
解得a=1，則$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
所以f（3）=$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{3}+1}$=$\frac{7}{9}$；
證明：（2）f（x）是R上的增函數(shù)，設(shè)x₁＜x₂，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}-1）-（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
=2•$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
∵${2}^{{x}_{1}}+1$＞0，且${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及證明單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，考查化簡、變形能力．