Question

19．已知a為常數(shù)，若曲線y=ax²+3x-lnx存在與直線x+y-1=0垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，曲線y=ax²+3x-lnx存在與直線x+y-1=0垂直的切線，轉(zhuǎn)化為f′（x）=1有正根，分離參數(shù)，求最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：令y=f（x）=ax²+3x-lnx
由題意知，x+y-1=0斜率是-1，
則與直線x+y-1=0垂直的切線的斜率是1．
∴f′（x）=1有解，
∵函數(shù)的定義域為{x|x＞0}．
∴f′（x）=1有正根，
∵f（x）=ax²+3x-lnx，
∴f'（x）=2ax+3-$\frac{1}{x}$=1有正根
∴2ax²+2x-1=0有正根，
∴2a=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
∴2a≥-1，
∴a≥-$\frac{1}{2}$．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．