Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F(xiàn)為棱BD，AD的中點，若EF⊥CF，則直線BD與平面ACD所成的角為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：由題意可建立如下空間直角坐標系．其中點O為底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．不妨設(shè)BC=6，AB=2a．利用

FE

⊥

CF

，可得

EF

•

CF

=0，解得a=

3 2

2

．設(shè)平面ACD的法向量為

n

=（x，y，z），利用

n • DC =6y=0 n • DA = 3 x+3y+ 6 z=0

，可取

n

=（

2

，0，-1）．設(shè)直線BD與平面ACD所成的角為θ．利用sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n || BD |

即可得出．

解答： 解：由題意可建立如下空間直角坐標系．
其中點O為底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．
不妨設(shè)BC=6，AB=2a．
則OB=

2

3

×

3

2

×6=2

3

．
AO=

AB2-BO2

=2

a2-3

．
∴B(2

3

，0，0)，C(-

3

，3，0)，D(-

3

，-3，0)，
A(0，0，2

a2-3

)，E(

3

2

，-

3

2

，0)，F(xiàn)(-

3

2

，-

3

2

，

a2-3

)．
∴

FE

=(

3

，0，-

a2-3

)，

CF

=(

3

2

，-

9

2

，

a2-3

)．
∵

FE

⊥

CF

，
∴

EF

•

CF

=

3

2

-(a2-3)=0，解得a=

3 2

2

．
∴A(0，0，

6

)．
又

DC

=（0，6，0），

DA

=(

3

，3，

6

)．
設(shè)平面ACD的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • DC =6y=0 n • DA = 3 x+3y+ 6 z=0

，
取

n

=（

2

，0，-1）．

DB

=(3

3

，3，0)．
設(shè)直線BD與平面ACD所成的角為θ．
則sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n || BD |

=

3 6

3 ×6

=

2

2

．
∴θ=

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點評：本題考查了正三棱錐的性質(zhì)、平面的法向量、線面垂直的性質(zhì)、線面角的計算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．