Question

6．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，則不等式$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$＜2的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性即可求出．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-1}{{e}^{x}}$
∵f'（x）＜f（x）+1，
∴g'（x）＜0，
故g（x）在R上為減函數(shù)，而g（0）=$\frac{f（0）+1}{{e}^{0}}$=2
不等式$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$＜2化為g（x）＜g（0），
解得x＞0，
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，有一點(diǎn)的難度．