Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a_n=2S_n-1+1（n≥2），所以a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又因?yàn)閍₂=3a₁，故{a_n}是等比數(shù)列，進(jìn)而得到答案．
（2）根據(jù)題意可得b₂=5，故可設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，所以結(jié)合題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，進(jìn)而求出公差得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n．

解答：解：（1）因?yàn)閍_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）
又因?yàn)閍₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列
∴a_n=3^n-1．
（2）設(shè){b_n}的公差為d，由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，
又因?yàn)閍₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10
∵等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，
∴d＞0，
∴d=2，
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n

點(diǎn)評：本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，以及等比數(shù)列與等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)與求和．