Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比q＞1，S₂=6，且a₂是a₃與a₃-2的等差中項．
（1）求a_n和S_n；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求T_n=$\frac{1}{_{1}_{3}}$+$\frac{1}{_{2}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立a₁（1+q）=6及2a₁q=a₁+a₁q²-2，計算可知q=2、a₁=2，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₁（1+q）=6，①
2a₁q=a₁+a₁q²-2，即a₁（q²-2q+1）=2，②
①÷②并化簡得：3q²-7q+2=0，
解得：q=2或q=$\frac{1}{3}$（舍），
代入①并化簡得：a₁=2，
則a_n=2ⁿ，S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（2）由（1）可知b_n=log₂a_n=n，
∵$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{_{1}_{3}}$+$\frac{1}{_{2}_{4}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．