Question

15．若$（{{x^2}+m}）{（{x-\frac{1}{x}}）^6}$展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)為$-\frac{25}{2}$，則m的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)$（x-\frac{1}{x}）^{6}$的通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$．（r=0，1，2，…，6）．可得$（{{x^2}+m}）{（{x-\frac{1}{x}}）^6}$展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：設(shè)$（x-\frac{1}{x}）^{6}$的通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$．（r=0，1，2，…，6）．
∴$（{{x^2}+m}）{（{x-\frac{1}{x}}）^6}$展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)為：$（-1）{∁}_{6}^{3}$×1+m•（-1）²${∁}_{6}^{2}$．
∴$-{∁}_{6}^{3}$+m${∁}_{6}^{2}$=$-\frac{25}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．