Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C和直線l相交于點(diǎn)M，N，試求出過M，N兩點(diǎn)的圓中面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosθ，sinθ，利用cos²θ+sin²θ=1，得到曲線C的方程；把$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1左側(cè)展開，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$消參，得到直線的普通方程；
（2）面積最小時(shí)，MN為圓的直徑，聯(lián)立方程組消元，使用根與系數(shù)的關(guān)系求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)和MN，即可得到最小圓的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$得cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，∴曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，∴ρsinθ-ρcosθ-1=0，∴直線l的直角坐標(biāo)方程是y-x-1=0．即x-y+1=0．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得7x²+8x-8=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．∴y₁+y₂=x₁+x₂+2=$\frac{6}{7}$．∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$），|AB|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24}{7}$．
當(dāng)過M，N兩點(diǎn)的圓中面積最小時(shí)，MN為圓的直徑．
∴面積最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+$\frac{4}{7}$）²+（y-$\frac{3}{7}$）²=$\frac{144}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓錐曲線位置的關(guān)系，屬于中檔題．