Question

2．以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的《中國(guó)詩詞大會(huì)》，是央視科教頻道推出的一檔大型演播室文化益智節(jié)目，每季賽事共分為10場(chǎng)，每場(chǎng)分個(gè)人追逐賽與擂主爭(zhēng)霸賽兩部分，其中擂主爭(zhēng)霸賽在本場(chǎng)個(gè)人追逐賽的優(yōu)勝者與上一場(chǎng)擂主之間進(jìn)行，一共備有9道搶答題，選手搶到并答對(duì)獲得1分，答錯(cuò)對(duì)方得1分，當(dāng)有一個(gè)選手累計(jì)得分達(dá)到5分時(shí)比賽結(jié)束，該選手就是本場(chǎng)的擂主，在某場(chǎng)比賽中，甲、乙兩人進(jìn)行擂主爭(zhēng)霸賽，設(shè)每個(gè)題目甲答對(duì)的概率都為$\frac{3}{4}$，乙答對(duì)的概率為$\frac{5}{12}$，每道題目都有人搶答，且每人搶到答題權(quán)的概率均為$\frac{1}{2}$，各題答題情況互不影響．
（Ⅰ）求搶答一道題目，甲得1分的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)在前5題已經(jīng)搶答完畢，甲得2分，乙得3分，在接下來的比賽中，設(shè)甲的得分為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“搶答一道題目，甲得1分”為事件A，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)甲搶到答題權(quán)后答對(duì)或乙搶到答題權(quán)后答錯(cuò)．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（II）在接下來的比賽中，甲的得分為ξ取值為0，1，2，3．P（ξ=0）=$（1-\frac{2}{3}）^{2}$，P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}•\frac{2}{3}$×$（1-\frac{2}{3}）$×$（1-\frac{2}{3}）$，P（ξ=2）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{2}{3}）^{2}$×$（1-\frac{2}{3}）^{2}$，P（ξ=3）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=2）．

解答 解：（I）設(shè)“搶答一道題目，甲得1分”為事件A，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)甲搶到答題權(quán)后答對(duì)或乙搶到答題權(quán)后答錯(cuò)．∴P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{5}{12}）$=$\frac{2}{3}$．
（II）在接下來的比賽中，甲的得分為ξ取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}•\frac{2}{3}$×$（1-\frac{2}{3}）$×$（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{4}{27}$，P（ξ=2）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{2}{3}）^{2}$×$（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{27}$，P（ξ=3）=1-$\frac{1}{9}$-$\frac{4}{27}$-$\frac{4}{27}$=$\frac{16}{27}$．
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{16}{27}$

Eξ=0×$\frac{1}{9}$+1×$\frac{4}{27}$+2×$\frac{4}{27}$+3×$\frac{16}{27}$=$\frac{20}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．