Question

20．關(guān)于函數(shù)f（x）=sin²x-（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{|x|}}$+$\frac{1}{2}$，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． f（x）是奇函數(shù)
• B． f（x）的最小值是$-\frac{1}{2}$
• C． f（x）的最大值是$\frac{5}{6}$
• D． 當(dāng)x＞2003時(shí)，$f（x）＞\frac{1}{2}$恒成立

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A，求出f（x）的范圍，排除C，根據(jù)x的范圍，排除D，從而求出答案．

解答 解：對(duì)于A：f（x）是偶函數(shù)，顯然不對(duì)，
對(duì)于B，C，f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}$-（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{|x|}}$+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cos2x-（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{|x|}}$，
其中$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$cos2x≤$\frac{3}{2}$，
而0＜（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{|x|}}$≤1，-1≤-（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{|x|}}$＜0，
∴-$\frac{1}{2}$≤f（x）＜$\frac{3}{2}$，
且x=0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$，
故B正確，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，x＞2003時(shí)，存在sinx=0，則f（x）＜$\frac{1}{2}$，錯(cuò)誤，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查三角函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．