Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

（Ⅰ）當(dāng)，是否在折疊后的AD上存在一點，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅱ）設(shè)BE＝x，問當(dāng)x為何值時，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

 

 

Answer 1

（1）存在點，；（2）當(dāng)時，三棱錐的最大值.

【解析】

試題分析：（1）與立體幾何有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用空間中點、線、面的位置關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點；（2）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；四是利用線面平行的定義，一般用反證法；（3）在求所列函數(shù)的最值時，若用基本不等式時，等號取不到時，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（4）基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）假設(shè)存在使得滿足條件CP∥平面ABEF

在平面內(nèi)過點作交于，在平面內(nèi)作直線交于點，連結(jié) 3分

∵

∴ 4分

∵

5分

又

∴平面∥平面 6分

又∵

∴，故點就是所求的點 7分

又∵

∴ 8分

（Ⅱ）因為平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，

所以AF⊥平面EFDC 10分

由已知BE＝x，所以AF＝x（），則FD＝8x．

∴ 12分

故

當(dāng)且僅當(dāng)，即＝4時，等號成立

所以，當(dāng)＝4時，有最大值，最大值為 14分

解法二：

故

所以，當(dāng)＝4時，有最大值，最大值為 14分

考點：（1）探究性問題；（2）求體積的最大值.