Question

某地需要修建一條大型輸油管道通過(guò)240公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的工程費(fèi)用為400萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為萬(wàn)元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為萬(wàn)元．

(1)試將表示成的函數(shù)；

(2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使最小，其最小值為多少？

 

Answer 1

（1）y＝＋240x－160(0＜x≤240)；（2）11，9440

【解析】

試題分析：（1）設(shè)增加個(gè)增壓站，有題意知(k＋1)x＝240，即k＝－1，根據(jù)題意將用表示出來(lái)，主要定義域；（2）利用基本不等式求出（1）中函數(shù)的最小值及取最小值時(shí)的值，再利用（1）中與的關(guān)系式，求出值.

試題解析：（1)設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則(k＋1)x＝240，即k＝－1.

所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160. 5分

因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤240.

故y與x的函數(shù)關(guān)系是y＝＋240x－160(0＜x≤240)． 7分

(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440. 9分

當(dāng)且僅當(dāng)＝240x，即x＝20時(shí)取等號(hào)． 10分

此時(shí)，k＝－1＝－1＝11. 11分

故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9 440萬(wàn)元． 12分

考點(diǎn)：函數(shù)的綜合應(yīng)用；基本不等式；運(yùn)算求解能力；應(yīng)用意識(shí)