Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²+4x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知a為實數(shù)，且f（a²-a）＜f（4a-4），求函數(shù)g（x）=（x-a）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

解1）設(shè)x＜0，則-x＞0，由已知可得：f（-x）=（-x）²-4x．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x．
所以函數(shù)的解析式為：．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=（x+2）²-4，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增；
同理可得：當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增．由函數(shù)f（x）在x=0時連續(xù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
∵實數(shù)a滿足f（a²-a）＜f（4a-4），
∴a²-a＜4a-4，解得1＜a＜4．
令，∵x∈[0，2]，∴．
∴y=t（t²-a），∴y^′=3t²-a．
令y^′=0，則，
又∵1＜a＜4，∴，∴．
當(dāng)t時，y^′＜0；當(dāng)時，y^′＞0．
∴函數(shù)y=t³-at在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞減；在區(qū)間[上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)y=t³-at在，即x=時取得最小值為．
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可求得當(dāng)x＜0時的解析式．
（2）據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，先證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．再對函數(shù)g（x）求導(dǎo)并求出極值，進(jìn)而可求得最小值．
點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值，充分理解以上性質(zhì)和掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法是解決問題的關(guān)鍵．