Question

已知函數(shù)f（x）=x-．
（1）討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
且f′（x）=1+-=
設(shè)g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a²-8，
①當(dāng)△=a²-8＜0，即0＜a＜2時(shí)，對(duì)一切x＞0都有f′（x）＞0，
此時(shí)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)△=a²-8=0，即a=2時(shí)，僅對(duì)x=有f′（x）=0，
對(duì)其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
③當(dāng)△=a²-8＞0，即a＞2時(shí)，
g（x）=x²-ax+2=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，，
由f′（x）＞0得，0＜x＜或x＞，
由f'（x）＜0得，＜x＜，
此時(shí)f（x）在（0，），（，+∞）上單調(diào)遞增，
在（，）是上單調(diào)遞減，
（2）解：f′（x）=1+-=，
依題意f'（x）≤0（等零的點(diǎn)是孤立的），即x²-ax+2≤0在（1，2）上恒成立，
令g（x）=x²-ax+2，則有，解得a≥4，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，+∞）．
分析：（1）求f（x）的定義域和導(dǎo)數(shù)fˊ（x）=，設(shè)g（x）=x²-ax+2，因?yàn)樵诤瘮?shù)式中含字母系數(shù)，需要根據(jù)△的符號(hào)進(jìn)行分類討論，分別在函數(shù)的定義域內(nèi)解不式g（x）＞0和g（x）＜0確定的f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）由條件確定f'（x）≤0，再轉(zhuǎn)化為x²-ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函數(shù)的圖象列出不等式求解，避免了分類討論．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式以及二次函數(shù)的圖象應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問題的能力，以及分類討論的思想方法．