如圖,用半徑為R的圓鐵皮,剪一個圓心角為α的扇形,制成一個圓錐形的漏斗,問圓心角α取什么值時,漏斗容積最大.(圓錐體積公式:數(shù)學公式,其中圓錐的底面半徑為r,高為h)

解:設圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,那么r2+h2=R2,
因此,
==.…(3分)
令V'=0,即,得.…(5分)
時,V'>0.
時,V'<0.
所以,時,V取得極大值,并且這個極大值是最大值.…(8分)
代入r2+h2=R2,得
由Ra=2πr,得
答:圓心角α為弧度時,漏斗容積最大.…(12分)
分析:設圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,求出r2+h2=R2,表示出體積表達式,利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值,得到結果.
點評:本題考查圓錐與扇形展開圖的關系,體積的計算,考查計算能力,導數(shù)的應用,必須注意函數(shù)的單調性與最值的關系.
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πr2h
,其中圓錐的底面半徑為r,高為h)

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