Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，2），則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由橢圓性質(zhì)得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{b=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出橢圓的方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{b=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．