Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|：|$\overrightarrow$|：|$\overrightarrow{c}$|=2：k：3（k∈N^*），且$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=2（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$），若α為$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夾角，則cosα的值為-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 先由$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=2（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）得到3$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$，兩邊平方，化簡整理得到cosα=$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$，根據(jù)-1≤cosα≤1，得到$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{8}{3}$，再根據(jù)k∈N^*，得到k=2，代入即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|：|$\overrightarrow$|：|$\overrightarrow{c}$|=2：k：3（k∈N^*），
設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=2m，|$\overrightarrow$|=km，|$\overrightarrow{c}$|=3m，m為大于零的常數(shù)，
∵$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=2（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$），
∴3$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$，
∴（3$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$）²，
∴9$\overrightarrow$²=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$²=$\overrightarrow{a}$²+4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|cosα+4$\overrightarrow{c}$²，
∴9k²=4+24cosα+36，
∴cosα=$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$，
∵-1≤cosα≤1，
∴-1≤$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$≤1，
解得$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{8}{3}$，
∵k∈N^*，
∴k=2，
∴cosα=$\frac{36-40}{24}$=-$\frac{1}{6}$，
故答案為：-$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算，向量的夾角公式，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．