Question

已知函數(shù)f_n（x）=a_nx³+b_nx²+c_nx，滿足

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數(shù)），n∈N^*，給出下列說法；
①函數(shù)f_n（x）可以為奇函數(shù)；
②若函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，則對于任意正整數(shù)n，函數(shù)f_n（x）都在R上單調(diào)遞增；
③若x₀是函數(shù)f_n（x）的極值點，則x₀也是函數(shù)f_n+1（x）的極值點；
④若b₁²＞3a₁c₁，則對于任意正整數(shù)n函數(shù)f_n（x）在R上一定有極值．
以上說法中所有正確的序號是（　�。�

• A、①②③④
• B、②③
• C、②③④
• D、②④

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①利用奇函數(shù)的定義，可以判斷；
②根據(jù)函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，可得f₁′（x）=3a₁x²+2b₁x+c₁＞0在R上恒成立，可得a₁＞0，△＜0，再由等比數(shù)列的定義，即可判斷；
③利用極值的定義，結合等比數(shù)列的條件，可得結論；
④求出f_n′（x）=0，若b₁²＞3a₁c₁，則由條件可得4b_n²-12a_nc_n＞0，則方程有兩個不等的實數(shù)根，且在其左右附近導數(shù)的符號改變．

解答： 解：對于①，f_n（x）+f_n（-x）=a_nx³+b_nx²+c_nx-a_nx³+b_nx²-c_nx
=2b_nx²≠0，
∴函數(shù)f_n（x）不是奇函數(shù)，則①錯；
②f₁（x）=a₁x³+b₁x²+c₁x，
則∵函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f₁′（x）=3a₁x²+2b₁x+c₁＞0在R上恒成立，
∴a₁＞0，△＜0，
由于

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數(shù)），n∈N^*，
則a_n＞0，b_n＞0，c_n＞0，且4b_n²-12a_nc_n＜0，
由于f_n（x）=a_nx³+b_nx²+c_nx，f′_n（x）=3a_nx²+2b_nx+c_n，
則由判別式△＜0，a_n＞0，可得，f′_n（x）＞0恒成立，
則函數(shù)f_n（x）都在R上單調(diào)遞增，則②對；
③若x₀是函數(shù)f_n（x）的極值點，則f_n′（x₀）=3a_nx₀²+2b_nx₀+c_nx₀=0，
∵

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數(shù)），n∈N^*，
∴f_n+1′（x₀）=q•（3a_nx₀²+2b_nx₀+c_nx₀）=0，
∴x₀也是函數(shù)f_n+1（x）的極值點，則③對；
④由于f′_n（x）=3a_nx²+2b_nx+c_n=0，
若b₁²＞3a₁c₁，則由條件可得4b_n²-12a_nc_n＞0，
則方程有兩個不等的實數(shù)根，且在其左右附近導數(shù)的符號改變，
∴函數(shù)f_n（x）在R上有極值．則④對．
綜上可知，②③④正確．
故選C．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)列知識，考查函數(shù)的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．